2019-2020学年北师大版选修2-2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则三 学案
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2019-2020学年北师大版选修2-2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则三 学案

1.概念

一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成 x的函数,那么称这个函数为y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).

2.复合函数的求导法则

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积.

探究点一 复合函数的定义

思考1 观察函数y=2xcos x及y=ln(x+2)的结构特点,说明它们分别是由哪些基本函数组成的?

答 y=2xcos x是由u=2x及v=cos x相乘得到的;而y=ln(x+2)是由u=x+2与y=ln u(x>-2)经过"复合"得到的,即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.所以它们称为复合函数.

思考2 对一个复合函数,怎样判断函数的复合关系?

答 复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程.在分析时可以从外向里出发,先根据最外层的主体函数结构找出y=f(u);再根据内层的主体函数结构找出函数u=g(x),函数y=f(u)和u=g(x)复合而成函数y=f(g(x)).

思考3 在复合函数中,内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系?

答 A⊆B.

小结 要特别注意两个函数的积与复合函数的区别,对于复合函数,要掌握引入中间变量,将其分拆成几个基本初等函数的方法.

例1 指出下列函数是怎样复合而成的:

(1)y=(3+5x)2;(2)y=log3(x2-2x+5);

(3)y=cos 3x.

解 (1)y=(3+5x)2是由函数y=u2,u=3+5x复合而成的;

(2)y=log3(x2-2x+5)是由函数y=log3u,u=x2-2x+5复合而成的;

(3)y=cos 3x是由函数y=cos u,u=3x复合而成的.

小结 分析函数的复合过程主要是设出中间变量u,分别找出y和u的函数关系,u和x的函数关系.

跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成: