3.3.2　函数的极值与导数

学习目标　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．

知识点一　极值点与极值的概念

思考　观察函数f(x)＝x3－2x的图象．

f′(－)的值是多少？在x＝－左、右两侧的f′(x)有什么变化？

f′()的值是多少，在x＝左、右两侧的f′(x)又有什么变化？

答案　f′(－)＝0，在x＝－的左侧f′(x)>0，在x＝－的右侧f′(x)<0；

f′()＝0，在x＝的左侧f′(x)<0，在x＝的右侧f′(x)>0.

梳理　(1)极小值点与极小值

如图，函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则把点a

叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)极大值点与极大值

如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

知识点二　求函数y＝f(x)的极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：

(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．

(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．