数学:1.3.3《奇偶性与单调性》学案(1)(新人教A版必修1)
数学:1.3.3《奇偶性与单调性》学案(1)(新人教A版必修1)第1页

  难点7 奇偶性与单调性(一)

  函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象.

  ●难点磁场

  (★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数,(1)求a的值;(2)证明: f(x)在(0,+∞)上是增函数.

  ●案例探究

  [例1]已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f()=-1,当且仅当0

  (1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减.

  命题意图:本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.

  知识依托:奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.

  错解分析:本题对思维能力要求较高,如果"赋值"不够准确,运算技能不过关,结果很难获得.

  技巧与方法:对于(1),获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键;对于(2),判定的范围是焦点.

  证明:(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数.

  (2)先证f(x)在(0,1)上单调递减.

  令0

  ∵00,1-x1x2>0,∴>0,

  又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0

  ∴x2-x1<1-x2x1,

  ∴0<<1,由题意知f()<0,

  即f(x2)

  ∴f(x)在(0,1)上为减函数,又f(x)为奇函数且f(0)=0.

  ∴f(x)在(-1,1)上为减函数.

[例2]设函数f(x)是定义在R上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增,f(2a2+a+1)