2．2　导数的几何意义

[学习目标]　1.了解导函数的概念；理解导数的几何意义.2.会求导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．

知识点一　切线的概念

如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，...)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．显然割线PPn的斜率是kn＝，当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率．

知识点二　导数的几何意义

函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，也就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率k＝ ＝f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

题型一　已知过曲线上一点求切线方程

例1　若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值．

解　∵y＝x3＋3ax.

∴y′＝

＝

＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a.

设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，

结合已知条件，得