2019-2020学年人教A版选修2-2 2.3数学归纳法习题课 学案
2019-2020学年人教A版选修2-2   2.3数学归纳法习题课  学案第1页

习题课 数学归纳法

明目标、知重点

1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤,掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题.

2.掌握证明n=k+1成立的常见变形技巧:提公因式、添项、拆项、合并项、配方等.

1.归纳法

归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,分完全归纳法和不完全归纳法两种,而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性,必须用数学归纳法进行严格证明.

2.数学归纳法

(1)应用范围:作为一种证明方法,用于证明一些与正整数n有关的数学命题;

(2)基本要求:它的证明过程必须是两步,最后还有结论,缺一不可;

(3)注意点:在第二步递推归纳时,从n=k到n=k+1必须用上归纳假设.

题型一 用数学归纳法证明不等式

思考 用数学归纳法证明不等式的关键是什么?

答 用数学归纳法证明不等式,首先要清楚由n=k到n=k+1时不等式两边项的变化;其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法,利用归纳假设证明n=k+1时的结论.

例1 已知数列{bn}的通项公式为bn=2n,求证:对任意的n∈N*,不等式·*...·>都成立.

证明 由bn=2n,得=,

所以·*...·=··*...·.

下面用数学归纳法证明不等式·*...·=··*...·>成立.

(1)当n=1时,左边=,右边=,因为>,所以不等式成立.

(2)假设当n=k(k≥1且k∈N*)时不等式成立,

即·*...·=··*...·>成立.