命题显然成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则

当n＝k＋1时，

ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1

＝aak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1

＝aak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.

由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，

故n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*，

命题成立．

反思与感悟　证明整除性问题的关键是"凑项"，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证．

跟踪训练2　证明x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被x＋y整除．

证明　(1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，

即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．

那么当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1

＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2

＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1

＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)．

∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，

y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，

∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除．

由(1)，(2)可知原命题成立．

题型三　利用数学归纳法证明几何问题

思考　用数学归纳法证明几何问题的关键是什么？

答　用数学归纳法证明几何问题的关键是"找项"，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．

例3　平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝.

证明　(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，

又f(2)＝×2×(2－1)＝1，