第4讲　导数的综合应用

年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 2018 卷Ⅰ 讨论函数的单调性、不等式的证明·T21 导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题，是高考的热点和难点．

解答题的热点题型有：

(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值．

(2)利用导数证明不等式或探讨方程的根．

(3)利用导数求解参数的范围或值. 卷Ⅱ 不等式的证明、函数的零点问题·T21 卷Ⅲ 不等式的证明、极值点问题·T21 2017 卷Ⅰ 利用导数研究函数的单调性、函数的零点·T21 卷Ⅱ 利用导数研究函数的单调性及极值、函数的零点、不等式的证明·T21 卷Ⅲ 导数在研究函数单调性中的应用、不等式放缩·T21 2016 卷Ⅰ 函数的零点问题、不等式的证明·T21 卷Ⅱ 函数单调性的判断、不等式证明及值域问题·T21 卷Ⅲ 三角函数的导数运算、最值问题及不等式证明·T21 　　

　　利用导数研究函数的零点(方程的根)(综合型)

　　[典型例题]

　　命题角度一　根据函数零点求参数范围

　　 (2018·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax2.

　　(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；

　　(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.

　　【解】　(1)证明：当a＝1时，f(x)≥1等价于(x2＋1)e－x－1≤0.

　　设函数g(x)＝(x2＋1)e－x－1，则g′(x)＝－(x2－2x＋1)e－x＝－(x－1)2e－x.

　　当x≠1时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)单调递减．而g(0)＝0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1.

(2)设函数h(x)＝1－ax2e－x.