二分法

【考点精讲】

　1. 函数零点的存在性判断--二分法

如果函数y＝f（x）在区间[a，b 上的图象是连续不断的曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在x0∈（a，b），使f（x0）＝0，这个x0也就是方程f（x）＝0的根。

　2. 逆定理：如果函数y=f（x）在[a，b 上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f（a）·f（b）<0。如f（x）=x2，在区间[－1，1 上有零点x=0，但f（－1）·f（1）>0。

　3. 用二分法求函数零点的步骤：

　　已知函数y=f（x）定义在区间D上，求它在D上的一个变号零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过正数ε，即使得|x－x0|≤ε。

　　（1）在D内取一个闭区间［a，b D，使f（a）与f（b）异号，即f（a）·f（b）＜0。

　　令a0=a，b0=b。

　　（2）取区间［a0，b0 的中点，则此中点对应的横坐标为x0=a0+（b0－a0）=（a0+b0）。计算f（x0）和f（a0）。

　　判断：①如果f（x0）=0，则x0就是f（x）的零点，计算终止；

　　②如果f（a0）·f（x0）＜0，则零点位于区间［a0，x0 内，令a1=a0，b1=x0；

　　③如果f（a0）·f（x0）＞0，则零点位于区间［x0，b0 内，令a1=x0，b1=b。

　　（3）取区间［a1，b1 的中点，则此中点对应的横坐标为

　　x1=a1+（b1－a1）=（a1+b1）。

　　计算f（x1）和f（a1）。

　　判断：①如果f（x1）=0，则x1就是f（x）的零点，计算终止；

　　②如果f（a1）·f（x1）＜0，则零点位于区间［a1，x1 上，令a2=a1，b2=x1。

　　③如果f（a1）·f（x1）＞0，则零点位于区间［x1，b1 上，令a2=x1，b2=b1。

　　......

实施上述步骤，函数的零点总位于区间［an，bn 上，当|an－bn|＜2ε时，区间［an，bn 的中点xn=（an+bn）就是函数y=f（x）的近似零点，计算终止。这时函数y=f（x）的近似零点与真正零点的误