§6 平面向量数量积的坐标表示

知识梳理

1.向量数量积的坐标表示

已知a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则a·b=a1b1+a2b2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

2.两个向量垂直的坐标表示

已知a=(a1，a2)，b=(b1,b2)，则a⊥ba1b1+a2b2=0；a⊥b (a1,a2)∥(-b2,b1).

3.向量的长度、距离和夹角公式（度量公式）

(1)长度公式：已知a=(a1,a2)，则|a|=.

(2)距离公式：如果A(x1，y1），B(x2，y2)，则||=.

(3)夹角公式：已知a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则两个向量a、b的夹角为cos〈a,b〉=.

知识导学

1.复习平面向量的坐标表示，向量共线和垂直的条件，向量的长度和夹角的概念.

2.本节的重点是向量数量积的应用，难点是灵活应用数量积解决有关问题.

疑难突破

1.为什么向量的数量积能用坐标表示？

剖析：由于向量能用坐标表示，那么向量的数量积也能用坐标表示，因此其突破方法是利用平面向量的坐标表示来推导.

设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，

则i·i=1，j·j=1，i·j=j·i=0.

∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j，

∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)

=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2,

即a·b=x1x2+y1y2.

用坐标表示向量数量积体现了数与形的密切结合和相互转化的思想，进一步体会到数形结合思想在解决数学问题时所带来的便利.

2.为什么（a·b）c=a(b·c)不成立？

剖析：难点是总认为此等式成立.突破路径1：否定一个等式，只需举一个反例即可；突破路径2：利用数量积的几何意义来证明；突破路径3：利用反证法通过向量数量积的坐标表示来证明等式不成立.

方法一：举反例.

如图2-6-1所示，设=a，=b，=c，且||=1，||=2，||=3，〈,〉=，〈, 〉=，则〈,〉=.

∴a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1，b·c=|b||c|cos〈b，c〉=3.

∴(a·b)c=c，a(b·c)=3a.很明显c=3a不成立，