2019-2020学年北师大版选修2-1 空间角及其求法 学案
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2019-2020学年北师大版选修2-1 空间角及其求法 学案

典例精析

题型一 求异面直线所成的角

【例1】(2018天津模拟)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1上的点,CF=AB=2CE,AB∶AD∶AA1=1∶2∶4.

(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值;

(2)求证:AF⊥平面A1ED;

(3)求二面角A1-ED-F的正弦值.

【解析】方法一:如图所示,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点,设AB=1,依题意得D(0,2,0),F(1,2,1),A1(0,0,4),E(1,,0).

易得=(0,,1),=(0,2,-4),

于是cos〈,〉==-.

所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.

(2)证明:易知=(1,2,1), =(-1,-,4),=(-1,,0),

于是·=0,·=0.因此,AF⊥EA1,AF⊥ED.又EA1∩ED=E,所以AF⊥平面A1ED.

(3)设平面EFD的法向量u=(x,y,z),

不妨令x=1,可得u=(1,2,-1),由(2)可知,为平面A1ED的一个法向量.

于是cos〈u,〉==,从而sin〈u,〉=.

所以二面角A1-ED-F的正弦值为.

方法二:(1)设AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF=1,CE=.

连接B1C,BC1,设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C.由==,可知EF∥BC1,故∠BMC是异面直线EF与A1D所成的角.