2019-2020学年北师大版选修2-1 空间角及其求法 学案
2019-2020学年北师大版选修2-1     空间角及其求法   学案第2页

易知BM=CM=B1C=,所以cos∠BMC==.

所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.

(2)证明:连接AC,设AC与DE交于点N,因为==,所以Rt△DCE∽Rt△CBA.从而∠CDE=∠BCA.

又由于∠CDE+∠CED=90°,所以∠BCA+∠CED=90°.故AC⊥DE.

又因为CC1⊥DE且CC1∩AC=C,所以DE⊥平面ACF.从而AF⊥DE.

连接BF,同理可证B1C⊥平面ABF.从而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D.

因为DE∩A1D=D,所以AF⊥平面A1ED.

(3)连接A1N,FN.由(2)可知DE⊥平面ACF.又NF⊂平面ACF,A1N⊂平面ACF,所以DE⊥NF,DE⊥A1N.故∠A1NF为二面角A1-ED-F的平面角.

易知Rt△CNE∽Rt△CBA,所以=.又AC=,所以CN=.

在Rt△CNF中,NF==.在Rt△A1AN中,A1N==.

连接A1C1,A1F,在Rt△A1C1F中,A1F==.

在△A1NF中,cos∠A1NF==.

所以sin∠A1NF=. 所以二面角A1-ED-F的正弦值为.

【点拨】本题主要考查异面直线所成的角,直线与平面垂直,二面角等基础知识,考查利用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力,运算能力和推理论证能力.

【变式训练1】已知二面角α-a-β的大小为θ(<θ<π),直线AB⊂α,CD⊂β,且AB⊥a,CD⊥a,若AB与CD所成的角为φ,则(  )

A.φ=0 B.φ=θ-

C.φ=θ+ D.φ=π-θ

【解析】选D.

题型二 求二面角

【例2】(2018北京模拟)如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.

(1)求证:AF∥平面BDE;

(2)求证:CF⊥平面BDE;

(3)求二面角A-BE-D的大小.

【解析】(1)设AC与BD交于点G,连接EG.

因为EF∥AG,且EF=1, AG=AC=1.

所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AF∥EG.

因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,