第一章导数及其应用1.5定积分的概念1

------------ 学 案

一、学习目标

　1．了解"以直代曲"、"以不变代变"的思想方法．

　2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．

二、自主学习

1.如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条 的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．

2.由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为 ，如图①．

3.把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些 .对每个 "以直代曲"，即用 的面积近似代替 的面积，得到每个小曲边梯形面积的 ，对这些近似值 ，就得到曲边梯形面积的 如图②．

4.如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用 ， ， ， 的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.

　　　　　　　　　　1. "以直代曲"的思想求曲边梯形的面积

　　由于没有曲边梯形的面积公式，为计算曲边梯形的面积，可以将它分割成许多个小曲边梯形，每个小曲边梯形用相应的小矩形近似代替，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．当分割无限变细时，这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积． "分割"的目的在于 "以直代曲"，即以"矩形"代替"曲边梯形"，随着分割的等份数增多，这种"代替"就越精确．当n越大，所有小矩形的面积和就越趋近于曲边梯形的面积．

2.用定积分的定义求定积分的技巧

　　(1)熟记解题的四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限；

　　(2) 在"近似代替"中，每个小区间上函数f(x)的值一般都取左端点的函数值代替或都取右端点的函数值代替。事实上，也可以取区间上的任意点代替，没有统一的要求．为了运算方便，通常取一些特殊点．

(3)熟记以下结论：①1＋2＋3＋...＋n＝，②12＋22＋32＋...＋n2＝，