③13＋23＋33＋...＋n3＝n2·(n＋1)2.

三、合作探究

题型一 曲边梯形的面积

例1　求由直线x＝1，x＝2和y＝0及曲线y＝x3所围成的曲边梯形的面积．

思路导析：将曲边梯形分割成许多个小曲边梯形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积的近似值，求它们的和，得到曲边梯形的面积的近似值，当n趋向于∞，即Δx趋向于0时，这个近似值就无限趋近于所求的曲边梯形的面积．

解析：(1)把曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点，，...，把区间[1,2]等分成n个小区间[1，]，[，]，...，[，]，...，[，2]。每个小区间的长度为Δx＝.过各点作x轴的垂线，把曲边梯形分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，...，ΔSn.

(2)取各小区间的左端点ξi，以点ξi的纵坐标ξ为一边，以小区间的长度Δx＝为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形的面积．第i个小曲边梯形面积可以近似地表示为ΔSi≈ξ·Δx＝()3·(i＝1,2，...，n)．

(3)因为每一个小矩形的面积都是可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形的面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即S≈()3·。

(4)当分点数目越多，即Δx越小时，和式的值就越接近曲边梯形的面积S，因此n→∞，即△x→0时，和式的极限就是所求的曲边梯形的面积．

　　因为()3·＝(n＋i－1)3＝[(n－1)3＋3(n－1)2i＋3(n－1)i2＋i3]

　　＝[n(n－1)3＋3(n－1)2·＋3(n－1)·＋n2(n＋1)2]，

　　所以S=

归纳总结：本题在求和时，可先提取公因式，再将和式进行化简会更简洁，然后再求极限．

变式训练：求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S.

　　　　　　　　　　　　　题型2 汽车行驶的路程

例2 一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间t的速度v(t)＝，求汽车在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程．