数学归纳法

[学习目标]　1.了解数学归纳法原理.2.掌握数学归纳法的两个步骤，会用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

知识点一　归纳法及分类

由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法，通常叫归纳法，归纳法可以分为完全归纳法和不完全归纳法，完全归纳法所得出的结论是完全可靠的，因为它考察了问题涉及的所有对象；不完全归纳法得出的结论不一定可靠，因为它只考察了某件事情的部分对象，但它是一种重要的思考问题的方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.用不完全归纳法发现规律，再用完全归纳法证明，是解决问题的一种重要途径.

完全归纳法是一种在研究了解事物的所有(有限种)特殊情况后，得出一般结论的推理方法，又叫枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况不多时，采用完全归纳法.

思考　下面的各列数都依照一定规律排列，请在括号里填上适当的数.

(1)1,5,9,13,17，(　　)；

(2)，1,1 ，2 ，3 ，(　　)；

(3)，，，，，(　　)；

(4)32,31,16,26，(　　)，(　　)，4,16,2,11.

答案　(1)21；(2)；(3)；(4)8　21.

知识点二　数学归纳法

1.数学归纳法

证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

②(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.

2.应用数学归纳法时注意几点：

(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题.

(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.

(3)步骤②的证明必须以"假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立"为条件.

思考　(1)对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？