题型一　一元二次不等式的解法

例1　解下列不等式：

(1)2x2＋7x＋3＞0；

(2)－4x2＋18x－≥0；

(3)－2x2＋3x－2＜0；

(4)－x2＋3x－5＞0.

解　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为{x|x＞－或x＜－3}．

(2)原不等式可化为2≤0，所以原不等式的解集为.

(3)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R.

(4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图像开口向上，所以原不等式的解集为∅.

反思与感悟　解一元二次不等式的一般步骤

(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；

(2)计算对应方程的判别式；

(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；

(4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集．

跟踪训练1　解下列不等式：

(1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0；

(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．

解　(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.

结合二次函数y＝x2－5x－6的图像知，原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞6}．

(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0.

方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.

结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图像知，原不等式的解集为{x|x＜－3或x＞2}．

(3)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2.

∴原不等式等价于9x2－12x＋4＞0.

解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.

结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图像知，原不等式的解集为{x|x≠}．