(2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,

则h'(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.

当x∈时,h'(x)<0,

所以h(x)在区间上单调递减.

所以对任意x∈有h(x)

所以函数f(x)在区间上单调递减.

因此f(x)在区间上的最大值为f(0)=1,最小值为f =-.

教师用书专用(3-4)

3.(2018北京,18,13分)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.

(1)求a,b的值;

(2)求f(x)的单调区间.

解析　(1)因为f(x)=xea-x+bx,所以f '(x)=(1-x)ea-x+b.

依题设,知即

解得a=2,b=e.

(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.

由f '(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知, f '(x)与1-x+ex-1同号.

令g(x)=1-x+ex-1,则g'(x)=-1+ex-1.

所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;

当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.

故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,

从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).

综上可知, f '(x)>0,x∈(-∞,+∞).故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).

4.(2018北京,18,13分)已知函数f(x)=ln.

(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;

(2)求证:当x∈(0,1)时, f(x)>2;

(3)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.

解析　(1)因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),

所以f '(x)=+, f '(0)=2.

又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.

(2)证明:令g(x)=f(x)-2,

则g'(x)=f '(x)-2(1+x2)=.

因为g'(x)>0(0

所以g(x)在区间(0,1)上单调递增.

所以g(x)>g(0)=0,x∈(0,1),

即当x∈(0,1)时, f(x)>2.

(3)由(2)知,当k≤2时, f(x)>k对x∈(0,1)恒成立.

当k>2时,令h(x)=f(x)-k,

则h'(x)=f '(x)-k(1+x2)=.

所以当0

当0

所以当k>2时, f(x)>k并非对x∈(0,1)恒成立.

综上可知,k的最大值为2.

三年模拟

A组　2018-2018年模拟·基础题组

考点一　导数的概念及其几何意义

1.(2018福建闽侯第六中学月考,8)设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导数为f '(x),且f '(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为(　　)

A.6x+y-12=0 B.9x+y-16=0