故≥1－ln x＝ln ，

取x＝1,2,3，...，n，则1＋＋＋...＋≥ln e＋ln ＋...＋ln ＝ln .

【点拨】演绎推理是推理证明的主要途径，而"三段论"是演绎推理的一种重要的推理形式，在高考中以证明题出现的频率较大.

【变式训练3】已知函数f(x)＝eg(x)，g(x)＝(e是自然对数的底数)，

(1)若对任意的x＞0，都有f(x)＜x＋1，求满足条件的最大整数k的值；

(2)求证：ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋...＋ln[1＋n(n＋1)]＞2n－3(n∈N*).

【解析】(1)由条件得到f(1)＜2⇒＜2⇒k＜2ln 2＋1＜3，猜测最大整数k＝2，

现在证明＜x＋1对任意x＞0恒成立：

＜x＋1等价于2－＜ln(x＋1)⇔ln(x＋1)＋＞2，

设h(x)＝ln(x＋1)＋，则h′(x)＝－＝.

故x∈(0,2)时，h′(x)＜0，当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0.

所以对任意的x＞0都有h(x)≥h(2)＝ln 3＋1＞2，即＜x＋1对任意x＞0恒成立，

所以整数k的最大值为2.

(2)由(1)得到不等式2－＜ln(x＋1)，

所以ln[1＋k(k＋1)]＞2－＞2－，

ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋...＋ln[1＋n(n＋1)]＞(2－)＋(2－)＋...＋[2－]＝2n－3[＋＋...＋]＝2n－3＋＞2n－3，

所以原不等式成立.

总结提高

合情推理与演绎推理是两种基本的思维推理方式.尽管合情推理(归纳、类比)得到的结论未必正确，但归纳推理与类比推理具有猜想和发现新结论、探索和提供证明的新思路的重要作用，特别在数学学习中，我们可以由熟悉的、已知的知识领域运用归纳、类比思维获取发现和创造的灵感去探索陌生的、未知的知识领域.演绎推理是数学逻辑思维的主要形式，担负着判断命题真假的重要使命.如果说合情推理是以感性思维为主，只需有感而发；那么演绎推理则是以理性思维为主，要求言必有据.在近几年高考中一道合情推理的试题往往会成为一套高考试题的特色与亮点，以彰显数学思维的魅力.其中数列的通项公式、求和公式的归纳、等差数列与等比数列、平面与空间、圆锥曲线与圆、杨辉三角等的类比的考查频率较大.而演绎推理的考查则可以渗透到每一道试题中.