2019-2020学年北师大版选修2-2  导数的几何意义 教案
2019-2020学年北师大版选修2-2   导数的几何意义       教案第2页

  圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线。

曲线的切线

如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么?

 我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题:⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系?

⑵切线PT的斜率为多少?

容易知道,割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时,无限趋近于切线PT的斜率,即

说明:(1)设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质-函数在处的导数.

(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. 函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率,

说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出P点的坐标;

②求出函数在点处的变化率 ,得到曲线在点的切线的斜率;

③利用点斜式求切线方程.   由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数,那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作:或,

  即:

注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数. 函数在点处的导数、导函数、导数 之间的区别与联系。

1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数。

2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数

3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也是 求函数在点处的导数的方法之一。 例1:(1)求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.

  (2)求函数y=3x2在点处的导数.

解:(1),

所以,所求切线的斜率为2,因此,所求的切线方程为即

 (2)因为

所以,所求切线的斜率为6,因此,所求的切线方程为即

例2、求曲线f(x)=x3-x2+5在x=1处的切线的倾斜角.

  分析:要求切线的倾斜角,也要先求切线的斜率,再根据斜率k=tana,求出倾斜角a.

解:∵tana=

  

  

  ∵a∈[0,π,∴a=π.

  ∴切线的倾斜角为π.

例3.(课本例2)如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

,根据图像,请描述、比较曲线在、、附近的变化情况.

解:我们用曲线在、、处的切线,刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.

(1)当时,曲线在处的切线平行于轴,所以,在附近曲线比较平坦,几乎没有升降.

(2)当时,曲线在处的切线的斜率,所以,在附近曲线下降,即函数在附近单调递减.

(3)当时,曲线在处的切线的斜率,所以,在附近曲线下降,即函数在附近单调递减.

 从图3.1-3可以看出,直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度,这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢.

例4.(课本例3)如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度(单位:)随时间(单位:)变化的图象.根据图像,估计时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到).

 解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度在此时刻的导数,从图像上看,它表示曲线在此点处的切线的斜率.

如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.

作处的切线,并在切线上去两点,如,,则它的斜率为:

所以

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:

0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度瞬时变化率 0.4 0 -0.7 -1.4