利用柯西不等式证明不等式[学生用书P44]

　　　(1)设a，b，c为正数，求证＋＋≥a＋b＋c.

　　(2)设a1，a2，...，an为实数，b1，b2，...，bn为正实数，求证：

　　＋＋...＋≥.

　　【证明】　(1)(a＋b＋c)

　　＝[()2＋()2＋()2]

　　≥＝(a＋b＋c)2，

　　即(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2.

　　因为a，b，c∈R＋，所以a＋b＋c＞0，

　　所以＋＋≥a＋b＋c.

　　(2)(b1＋b2＋...＋bn)

　　≥

　　＝(a1＋a2＋...＋an)2.

　　因为b1，b2，...，bn为正实数，

　　所以b1＋b2＋...＋bn>0.

　　所以＋＋...＋≥.

　　当且仅当＝＝...＝时，等号成立．

　　利用柯西不等式证明不等式时常用的技巧

　　(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数．　

　　(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序．

(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的．