2019-2020学年北师大版选修2-2 导数中的函数构造问题 教案
2019-2020学年北师大版选修2-2    导数中的函数构造问题     教案第3页

数形结合求解即可.注意选项的转化.

答案 D

解析 构造F(x)=形式,则F′(x)==,导函数f′(x)满足f′(x)

2.同样exf(x),是比较简单常见的f(x)与ex之间的函数关系式,如果碰见复杂的,我们是否也能找出此类函数的一般形式呢?

F(x)=enxf(x),

F′(x)=n·enxf(x)+enxf′(x)=enx[f′(x)+nf(x)];

F(x)=,F′(x)==;

结论:(1)出现f′(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x);

(2)出现f′(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=.

我们根据得出的结论去解决例5,例6.

例5 若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)-2f(x)>0,f(0)=1,则不等式f(x)>e2x的解集为________.

思路点拨 满足"f′(x)-2f(x)>0"形式,优先构造F(x)=,然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.

答案 {x|x>0}

解析 构造F(x)=形式,

则F′(x)==,

函数f(x)满足f′(x)-2f(x)>0,则F′(x)>0,F(x)在R上单调递增.

又∵f(0)=1,则F(0)=1,f(x)>e2x⇔>1⇔F(x)>F(0),根据单调性得x>0.

例6 已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),若f(x)满足:(x-1)[f′(x)-f(x)]>0,f(2-x)=f(x)·e2-2x,则下列判断一定正确的是(  )

A.f(1)e2f(0)

C.f(3)>e3f(0) D.f(4)

思路点拨 满足"f′(x)-f(x)"形式,优先构造F(x)=,然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.

答案 C