例4　若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________．

答案　[1，＋∞)

解析　由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．

由于k≥，而0<<1，所以k≥1.

即k的取值范围为[1，＋∞)．

引申探究

1．若将本例中条件递增改为递减，求k的取值范围．

解　∵f′(x)＝k－，

又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，

∴f′(x)＝k－≤0在(1，＋∞)上恒成立，

即k≤，∵0<<1，∴k≤0.

即k的取值范围为(－∞，0]．

2．若将本例中条件递增改为不单调，求k的取值范围．

解　f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝k－.

当k≤0时，f′(x)<0.

∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故不合题意．

当k>0时，令f′(x)＝0，得x＝，

只需∈(1，＋∞)，即>1，则0

∴k的取值范围是(0,1)．

反思与感悟　(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路

①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取"＝"时是否满足题意．

②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取"＝"时f(x)是否满足题意．

(2)恒成立问题的重要思路