[点睛] 对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明
(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)=0,在其余的点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
1.判断(正确的打"√",错误的打"×")
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0,则函数f(x)在定义域上单调递增.( )
(2)函数在某一点的导数越大,函数在该点处的切线越"陡峭".( )
(3)函数在某个区间上变化越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大.( )
答案:(1)× (2)× (3)√
2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
答案:D
3.设f(x)=x+(x<0),则f(x)的单调递减区间为( )
A.(-∞,-2) B.(-2,0)
C.(-∞,-) D.(-,0)
答案:D
4.函数f(x)=sin x-2x在(-∞,+∞)上是________(填"增"或"减")函数.
答案:减
判断或证明函数的单调性
[典例] 已知函数f(x)=ax3-3x2+1-,讨论函数f(x)的单调性.
[解] 由题设知a≠0.f′(x)=3ax2-6x=3ax,令f′(x)=0,得x1=0,x2=.
当a>0时,若x∈(-∞,0),则f′(x)>0.
∴f(x)在区间(-∞,0)上为增函数.
若x∈,则f′(x)<0,