其中θ是F与s的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量).

故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.

思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？

推进新课

新知探究

提出问题

①a·b的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?

②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？

③我们知道,对任意a,b∈R,恒有(a+b)2=a 2+2A.b+b2,(a+b)(a-b)=a 2-b2.对任意向量a、b,是否也有下面类似的结论?

(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;

(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.

活动:已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即

a·b=|a||b|cosθ(0≤θ≤π).

其中θ是a与b的夹角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫作向量a在b方向上(b在a.方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.

图2

在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:

(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;

(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a·0=0;

(3)符号"·"在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用"×"代替;

(4)当0≤θ＜时，cosθ＞0,从而a·b＞0;当＜θ≤π时,cosθ＜0,从而a·b＜0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.

已知a,b,c和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:

①a·b=b·a(交换律);

②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);

③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).

特别是:(1)当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.

(2)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bca=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c不能推出a=c.由图3很容易看出,虽然a·b=b·c,但a≠c.