诱导公式很容易证明以下公式:

tan(+α)=cotα;tan(-α)=cotα.

以上六个公式都叫作正切函数的诱导公式,其中角α可以为使得等式两边都有意义的任意角.这样,我们就可以利用诱导公式将任意角的三角函数问题转化为锐角三角函数问题,利用三角函数诱导公式的变换程序可用如下的框图来表示:

要求学生熟记2π±α,-α,π±α,±α的正切函数的诱导公式,这些诱导公式可以帮助我们把任意角化到［0°,360°)范围内,进而找到锐角,利用这些熟知角进行化简、求值或证明等.让学生类比正弦、余弦函数诱导公式的记忆歌诀,自己得出正切函数诱导公式的记忆歌诀.

我们最熟悉的三角函数值是角在0°到90°之间,利用三角函数诱导公式,我们就能将0°到360°之内的角化为0°到90°之间的角来求它的三角函数值,对于任一0°到360°的角β,有四种可能(其中α为不大于90°的非负角),解题时可根据题目条件灵活选用.

β=

应用示例

例1 若tanα=,借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值.

活动:三角函数诱导公式至此已经学完,本例目的是让学生回顾任意角的三角函数定义,对于三角函数定义教材上是分两次完成的,切函数与弦函数分别进行,通过本例要让学生明确三角函数定义中点P的任意性;本例是一道基本概念题,可先让学生回忆任意角三角函数定义及正弦、余弦、正切在各个象限的符号,养成求值先看角所在象限的习惯;然后由学生自己独立完成,必要时教师给予点拨.

解:∵tanα＝＞0,∴α是第一象限或第三象限的角.

(1)如果α是第一象限的角,则由tanα＝可知,角α终边上必有一点P(3,2).

所以x＝3,y＝2.

∵r＝|OP|＝,∴sinα＝＝,cosα＝＝.

(2)如果α是第三象限角,同理可得sinα＝＝-,cosα＝＝-.

点评:解完此题后教师可就此点拨学生,利用定义解题是非常重要的一种解题方法,而且对于本章来说,认识周期现象、将角推广及引入弧度制后就学习三角函数的定义,以后的其他内容都是在任意角三角函数定义的基础上展开的,所以说三角函数的定义在三角函数内容中显得尤为重要,要让学生熟练掌握利用定义解题的方法.

变式训练

(2007北京)已知cosθ·tanθ＜0,那么角θ是 ( )

Ａ.第一或第二象限角 Ｂ.第二或第三象限角