类型一　导数与函数单调性

例1　已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴.

(1)确定a与b的关系；

(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性.

考点　利用导数研究函数的单调性、极值与最值

题点　利用导数研究函数的单调性

解　(1)依题意得g(x)＝ln x＋ax2＋bx，

则g′(x)＝＋2ax＋b.

由函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴得g′(1)＝1＋2a＋b＝0，

∴b＝－2a－1.

(2)由(1)得

g′(x)＝＝.

∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，

∴当a＝0时，g′(x)＝－.

由g′(x)＞0得0＜x＜1，由g′(x)＜0得x＞1，即函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；

当a＞0时，令g′(x)＝0得x＝1或x＝，

若＜1，即a＞，由g′(x)＞0得x＞1或0＜x＜，

由g′(x)＜0得＜x＜1，

即函数g(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减；

若＞1，即0＜a＜，由g′(x)＞0得x＞或0＜x＜1，由g′(x)＜0得1＜x＜，

即函数g(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减；

若＝1，即a＝，在(0，＋∞)上恒有g′(x)≥0，