二．新课讲授

复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。

复合函数的导数 复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．

　　　　若，则

三．典例分析

例1求y ＝sin（tan x2）的导数．

【点评】

　　求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．

例2求y ＝的导数．

【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．

例3求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数．

【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22 x

＝1－（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x．

【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x)＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x

【点评】

　　解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．

例4曲线y ＝x（x ＋1）（2－x）有两条平行于直线y ＝x的切线，求此二切线之间的距离．

【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y′＝－3 x 2＋2 x ＋2

令y′＝1即3 x2－2 x －1＝0，解得 x ＝－或x ＝1．

于是切点为P（1，2），Q（－，－），

过点P的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．

显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为＝．