形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，...，ΔSi，...，ΔSn.

(2)近似代替

用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积：在小区间[，]上任取一点ξi(i＝1,2，...，n)，为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，用f(ξi)的相反数－f(ξi)＝－()·(－1)为其一边长，以小区间长度Δx＝为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为

ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－()(－1)·(i＝1,2，...，n)．

即S＝Si≈－(ξi)Δx

＝－()(－1)]·

＝－[02＋12＋22＋...＋(n－1)2]＋[0＋1＋2＋...＋(n－1)]

＝－·n(n－1)(2n－1)＋·

＝－＝－(－1)．

(4)取极限

当分割无限变细，即Δx趋向于0时，n趋向于∞，此时－(－1)趋向于S.

从而有S＝[－(－1)]＝.

所以由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积为.

反思与感悟　求曲边梯形的面积：

(1)思想：以直代曲．

(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限．

(3)关键：近似代替．

(4)结果：分割越细，面积越精确．