2019-2020学年北师大版必修五 解不等式 学案
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但这时要注意分母的正负情况.

2.比较两个代数式的大小关系,实际上是比较它们的值的大小,又归结为判断它们的差的符号,要引导学生意识到比较法是不等式证明的基本方法.它有两个基本步骤:先作差,再变形判断正负号,难点是后者.这里的代数式的字母是有范围的,省略不写时就表示取值范围是实数集,它的主要变形方法有两种,一是因式分解法,二是配方法,变形时要尽量避免讨论,让依据尽量简便.

3.可以介绍异向不等式,并提醒学生注意什么样的不等式可以相加相减.对于不等式的性质与推论,可以根据学生的情况适当进行推导(比如性质4的推论3可以用反证法证明),让学生知道这些定理的来龙去脉,在不等式的证明中减少想当然,对数学证明的严格化有一定的认识.

版块二.均值不等式

1.均值定理:如果(表示正实数),那么,当且仅当时,有等号成立.此结论又称均值不等式或基本不等式.

2.对于任意两个实数,叫做的算术平均值,叫做的几何平均值.

均值定理可以表述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.

3.两个正数的积为常数时,它们的和有最小值;两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.

<教师备案>1.在利用均值定理求某些函数的最值时,要注意以下几点:

⑴函数式中的各项必须都是正数,在异号时不能运用均值不等式,在同负时可以先进行

转化,再运用均值不等式;

      ⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数;

⑶只有具备了不等式中等号成立的条件,才能使函数式取到最大或最小值.否则不能由

      均值不等式求最值,只能用函数的单调性求最值.

      运用均值不等式的前提有口诀:一正二定三相等.

     2.均值不等式的几何解释:半径不小于半弦.

⑴对于任意正实数,作线段,使;

⑵以为直径作半圆,并过点作于,

且交半圆于点;

⑶连结,则,

      ∵

      ∴,

      当时,在中,

有.