以讨论,f(x)的定义域由抛物线范围确定.

解:设P(x,y),则x≥0,y2=2x,

所以d=f(x)=|PA|=.

因为a＞0,x≥0,故有

(1)当0＜a＜1时,a-1＜0,此时,x=0时,d最小值为dmin=a.

(2)当a≥1时,a-1≥0,此时,x=a-1时,d最小值为dmin=.

绿色通道

求抛物线上的动点到定点距离的最值时,除了要构造出目标函数之外,要注意抛物线是有范围的,从而确定目标函数的定义域;含有参数的,还要对参数进行讨论,否则极有可能出现错误.

变式训练

2.求抛物线y2=64x上的点到直线4x+3y+46=0的距离的最小值,并求取得最小值时的抛物线上点的坐标.

分析:本题可应用点到直线的距离公式转化为求二次函数的最小值;也可以转化为求与已知直线平行并且与抛物线只有一个公共点(相切)的直线与已知直线的距离.

解:设P(x0,y0)是抛物线上的点,则x0=,P到直线4x+3y+46=0的距离d= =.

所以当y0=-24,x0=9时,d有最小值2.

所以抛物线上的点到直线的最小距离等于2,这时抛物线上的点的坐标为(9,-24).