概念

形成 1. 探求换底公式，明确换底公式的意义和作用.

例如，求我国人口达到18亿的年份，就是计算x=log1.01的值，利用换底公式与对数的运算性质，可得

x=log1.01==≈=32.8837≈33（年）.

由此可得，如果人口年增长率控制在1%，那么从2000年初开始，大约经过33年，即到2032年底我国的人口总数可达到18亿.

师：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？

logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0）.

（师生讨论并完成）

当a＞0，且a≠1时，

若ab=N， ①

则logaN=b. ②

在①的两边取以c（c＞0，且c≠1）为底的对数，

则logcab=logcN，

即blogca=logcN.

∴b=. ③

由②③得logaN=（c＞0，且c≠1）.

一般地，logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0），这个公式称为换底公式.

推导换底公式 应用

举例 （多媒体显示如下例题，生板演，师组织学生进行课堂评价）

例1 计算：（1）log34·log48·log8m=log416，求m的值.

（2）log89·log2732.

（3）（log25+log4125）·.

合作探究：现在我们来用已学过的对数知识解决实际问题.

例2 20世纪30年代，里克特（C.F.Richter）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lgA－lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是"标准地震"的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.

（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；

（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.

例3 科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的"标准时钟".动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其"半衰期"为5730年.

湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.

课堂练习

1.课本P79练习第4题.

2.在，，log，logan，（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，ab≠1，n∈N）中和logab相等的有

A.2个 B.3个 C.4个 D.1个

3.若log34·log48·log8m=log42，求m.

4.（1）已知log53=a，log54=b，试用a、b表示log2512；

（2）已知log1227=a，求log616.

例1分析：在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底.

（1）解：原方程等价于

××=2，

即log3m=2，∴m=9.

（2）解法一：原式

=·=·=.

解法二：原式

=·

=·=.

（3）解：原式=

（log25+log25）·

=log225·log52

=log25·log52

=log25·log52=.

小结（1）不同底的对数要尽量化为同底的对数来计算；

（2）在第（3）小题的计算过程中，用到了性质logMn

=logaM及换底公式

logaN=.利用换底公式可以证明：logab=，

即logablogba=1.

例2解：（1）M=lg20－lg0.001

=lg=lg20000

=lg2+lg104≈4.3.

因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.

（2）由M=lgA－lgA0可得

M=lg=10M

A=A0·10M.

当M=7.6时，地震的最大振幅为A1=A0·107.6；

当M=5时，地震的最大振幅为A2=A0·105.

所以，两次地震的最大振幅之比是

=107.6－5=102.6≈398.

答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍.

合作探究：可以看到，虽然7.6级地震和5级地震仅相差2.6级，但7.6级地震的最大振幅却是5级地震最大振幅的398倍.所以，7.6级地震的破坏性远远大于5级地震的破坏性.

例3解：我们先推算生物死亡t年后每克组织中的碳14含量.设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，1年后的残留量为x，由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t与其体内每克组织的碳14含量P有如下关系：

死亡年数t 1 2 碳14含量P x x2

3 ... t ... x3 ... xt ... 因此，生物死亡t年后体内碳14的含量P=xt.

由于大约每过5730年，死亡生物体的碳14含量衰减为原来的一半，

所以=x5730，

于是x==（），

这样生物死亡t年后体内碳14的含量P=（）.

由对数与指数的关系，指数式P=（）可写成对数式t=logP.

湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，即P=0.767，那么t=log0.767，

由计算器可得t≈2193.

所以，马王堆古墓是近2200年前的遗址.

课堂练习答案

1.（1）1；（2）1；（3）.

2. A

3. .

4. （1）.

（2）.

掌握换底公式的应用.

掌握利用对数知识解决实际问题.