2018-2019学年人教A版选修4-5 第三讲一二维形式的柯西不等式 学案(1)
2018-2019学年人教A版选修4-5 第三讲一二维形式的柯西不等式 学案(1)第2页

  解析:选C.因为|a·b|≤|a||b|,

  所以|a·b|≤18,

  所以-18≤a·b≤18,

  a·b的最小值为-18,故选C.

  3.设a,b∈R,若a2+b2=5,则a+2b的最大值为(  )

  A. B.-

  C.5 D.-5

  解析:选C.由柯西不等式得(a2+b2)(12+22)≥(a+2b)2,

  所以(a+2b)2≤5×5=25,当且仅当2a=b时,等号成立.

  所以(a+2b)max=5.

  4.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为________.

  解析:根据柯西不等式(ma+nb)2≤(a2+b2)(m2+n2),得25≤5(m2+n2),m2+n2≥5,的最小值为.

  答案:

  

   利用柯西不等式求最值[学生用书P40]

   (1)求f(x)=2+的最大值.

  (2)若3x+4y=2,求x2+y2的最小值.

  【解】 (1)因为f(x)=2+

  =×+1×

  ≤×

  =×=3.

  当且仅当×=,

  即x=0时取等号,

  故f(x)=2+的最大值是3.

  (2)因为3x+4y=2,

  所以x2+y2=(x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2=,

  当且仅当时,即时"="成立.

  所以x2+y2的最小值为.

  

  利用柯西不等式求最值

  (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征,是利用柯西不等式求解的先决条件; 

(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式,但只要适当添加上常数项或和为常数的各项,就可以应用柯西不等式来解,这也是运用柯西不等式解题的技巧;