回第三步；否则，2kd(k是约简整数2的个数)为所求的最大公约数．

跟踪训练1　用更相减损之术求261和319的最大公约数．

解　∵319－261＝58，

261－58＝203，

203－58＝145，

145－58＝87，

87－58＝29，

58－29＝29，

∴319与261的最大公约数为29.

题型二　秦九韶算法的基本思想

例2　已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值．

解　将f(x)改写为

f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8，

由内向外依次计算一次多项式当x＝5时的值：

v0＝4；v1＝4×5＋2＝22；

v2＝22×5＋3.5＝113.5；

v3＝113.5×5－2.6＝564.9；

v4＝564.9×5＋1.7＝2 826.2；

v5＝2 826.2×5－0.8＝14 130.2.

∴当x＝5时，多项式的值为14 130.2.

反思与感悟　秦九韶算法之所以优秀，一是其对所有多项式求值都适用，二是充分利用已有计算成果，效率更高．

跟踪训练2　用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．

解　f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，

所以有v0＝7，

v1＝7×3＋6＝27，