2018-2019学年人教A版选修2-1 3.1.1 空间向量及其加减运算 学案
2018-2019学年人教A版选修2-1 3.1.1 空间向量及其加减运算 学案第2页

加法运算律 (1)交换律:a+b=b+a

(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)   4.空间向量的数乘运算

  (1)定义:实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量,称为向量的数乘运算.当λ>0时,λa与向量a方向相同;当λ<0时,λa与向量a方向相反;当λ=0时,λa=0;λa的长度是a的长度的|λ|倍.

  (2)运算律:①λ(a+b)=λa+λb;②λ(μa)=(λμ)a.

  5.共线向量和共面向量

  (1)共线向量

  ①定义:表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.

  ②共线向量定理:对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ使a=λb.

  ③点P在直线AB上的充要条件:存在实数t,使→(OP)=→(OA)+t→(AB).

  (2)共面向量

  ①定义:平行于同一个平面的向量叫做共面向量.

  ②共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=x a+y b.

  ③空间一点P位于平面ABC内的充要条件:存在有序实数对(x,y), 使→(AP)=x→(AB)+y→(AC)或对空间任意一点O,有→(OP)=→(OA)+x→(AB)+y→(AC).

  思考:(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗?

  (2)若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,满足→(OP)=3(1)→(OA)+3(1)→(OB)+3(1)→(OC),则点P与点A,B,C是否共面?

[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一个平面的两个向量,因此一定是共面向量.