第三章|空间向量与立体几何

　　3．1　空间向量及其运算

　　第15课时　空间向量及其加减运算

　　 1.了解向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．

　　2．掌握空间向量的加法、减法运算．

　　　空间向量的概念

　　 如图所示的平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，给定的下列各对向量：

　　①\s\up6(→(→)与\s\up6(→(→) ②\s\up6(→(→)与\s\up6(→(→)

　　③\s\up6(→(→)与\s\up6(→(→) ④\s\up6(→(→)与\s\up6(→(→)

　　其中是相反向量的有________对．

　　解析：\s\up6(→(→)与\s\up6(→(→)是相反向量；\s\up6(→(→)与\s\up6(→(→)是相反向量．故有2对．

　　答案：2

　　 给出下列命题：

　　①零向量没有确定的方向；

　　②在正方体ABCD­A1B1C1D1中，\s\up6(→(→)＝－\s\up6(→(→)；

　　③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；

　　④在四边形ABCD中，必有\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)＝\s\up6(→(→).

　　其中正确命题的序号是________．

　　解析：①正确；②正确，因为\s\up6(→(→)与\s\up6(→(→)的大小相等方向相反，即为互为相反向量，所以\s\up6(→(→)＝－\s\up6(→(→)；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)＝\s\up6(→(→).

　　综上可知，正确命题为①②.

　　答案：①②

　　 如图所示，在以长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，

　　(1)单位向量共有多少个？

　　(2)试写出模为的所有向量．

　　解：(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．

(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为，故模为的向量有\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)共8个．