题点 极值存在性问题

答案 (1)(－∞，1) (2)B

解析 (1)f′(x)＝x2－2x＋a，由题意，得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.

(2)∵f(x)＝x(ln x－ax)，

∴f′(x)＝ln x－2ax＋1，且f(x)有两个极值点，

∴f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，

令f′(x)＝0，则2a＝x(ln x＋1)，

设g(x)＝x(ln x＋1)，则g′(x)＝x2(－ln x)，

∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

又∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，

而g(x)max＝g(1)＝1，

∴只需0<2a<1，即0

引申探究

1．若本例(1)中函数的极大值点是－1，求a的值．

解 f′(x)＝x2－2x＋a，

由题意得f′(－1)＝1＋2＋a＝0，

解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，经验证可知，f(x)在x＝－1处取得极大值．

2．若本例(1)中函数f(x)有两个极值点，均为正值，求a的取值范围．

解 由题意，得方程x2－2x＋a＝0有两个不等正根，设为x1，x2，则x1x2＝a>0，(x1＋x2＝2>0，)

解得0

故a的取值范围是(0,1)．

反思与感悟 函数的极值与极值点的情况应转化为方程f′(x)＝0根的问题．

跟踪训练1 已知函数f(x)＝x(1＋ln x)，若函数在区间2(1)(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围．