例4　试判断函数f(x)＝x－ln x(x>0)在区间和区间(1，e)内有无零点.

分析　可通过导数确定函数极值点与极值的正负，再结合确定零点的方法确定零点的个数.

解　因为f′(x)＝－.

所以当x∈(3，＋∞)时，y＝f(x)是增函数；

当x∈(0,3)时，y＝f(x)是减函数.

而0<<10，f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，所以函数f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点.

3　揭开导数问题易错点的面纱

一、揭开导数运算中的常见错因

1.对f′(x0)与f′(x)理解有误

例1　已知函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)的值为(　　)

A.0 B.－4

C.－2 D.2

错解　由f(x)＝x2＋2xf′(1)得f(0)＝0.

所以f′(0)＝0.故选A.

错因分析　解题时没有弄清导函数和其在某点处的导数的关系，求函数在某点处的导数时，应先求导再求函数值，同时要注意f′1是常数.

正解　由f(x)＝x2＋2xf′(1)得，f′(x)＝2x＋2f′(1).

所以f′(1)＝2×1＋2f′(1).所以f′(1)＝－2.

从而f′(x)＝2x－4.所以f′(0)＝－4.

故选B.

2.切点位置的确定有误

例2　求过点P(1,0)且与曲线f(x)＝x3－x相切的直线的方程.

错解　由题意知点P(1,0)在曲线上.

因为f′(x)＝3x2－1，所以f′(1)＝2.