2.求向量a在向量b上的投影,应先求出|a|,再求出两个向量a与b的夹角,最后计算|a|cos〈a,b〉,即为向量a在向量b上的投影,它可正,可负,也可以为零.

名师解惑

1.如何用坐标表示空间向量?

剖析:合理地建立空间直角坐标系,当空间向量a的起点移至坐标原点时,终点的坐标就是向量a的坐标.两个向量相等是指两个向量方向相同,长度相等,而与起点的位置无关,因此,向量的坐标表示等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标,而不是一味地将向量的起点移至原点,用终点坐标表示向量坐标.

2.如何求一个向量在另一个向量上的投影?

剖析:求向量a在向量b上的投影 ,首先计算出向量a的模|a|,再求出两个向量a,b的夹角〈a,b〉,最后计算出a在向量b上的投影|a|cos〈a,b〉,由于两向量的夹角在［0,π］内,故|a|cos〈a,b〉可以是正值,可以是零,也可以是负值.

讲练互动

【例1】如图,在直角坐标系中,有长方体ABCD-A′B′C′D′,AB=3,BC=4,AA′=6.

(1)写出C′的坐标,给出关于i,j,k的分解式;

(2)求的坐标.

解析：C′的坐标的确定方法:过C′点作平面xOy的垂线,垂足为C,过C点分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为D,B点,则x=|CB|,y=|DC|,z=|CC′|.

所以C′(x,y,z).

解：(1)因为AB=3,BC=4,AA′=6,

所以C′的坐标为(4,3,6).

所以=(4,3,6)=4i+3j+6k.

(2)因为点D′的坐标为(4,0,6),

所以=(4,0,6).

绿色通道

要正确地写出点的坐标和向量的坐标及向量的标准正交分解式,首先要理解并且记准定义,其次要结合立体图形,数形结合,方能达到正确解题的目的.

变式训练