一般地，全称命题P：" xÎM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：$x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P：$xÎM，使P（x）成立；其否定命题┓P为：" xÎM,有P（x）不成立。

用符号语言表示：

　　P:"ÎM, p(x）否定为Ø P: $ÎM, Ø P（x）

　　P:$ÎM, p(x）否定为Ø P: "ÎM, Ø P（x）

　　在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

2.关键量词的否定

词语 是 一定是 都是 大于 小于 且 词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 词语 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 所有x不成立 词语的否定 一个也没有 至多有n-1个 至少有两个 存在一个x不成立 存在有一个成立 五、巩固运用

例1 写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有人都晨练；

（2）p：xR，x2＋x+1>0；

（3）p：平行四边形的对边相等；

（4）p：$ x∈R，x2－x+1＝0；

分析：（1） P：有的人不晨练；（2） x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）xR，x2－x+1≠0；

例2 写出下列命题的否定。

（1） 所有自然数的平方是正数。

（2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根。

（3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.

（4） 有些质数是奇数。

解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。

（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。

（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。

（4）的否定：所有的质数都不是奇数。

解题中会遇到省略了"所有，任何，任意"等量词的简化形式，如"若x＞3，则x2＞9"。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。

例3 写出下列命题的否定。

（1） 若x2＞4 则x＞2.。

（2） 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。

（3） 可以被5整除的整数，末位是0。

（4） 被8整除的数能被4整除。

（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。