2019-2020学年人教A版选修2-2 复合函数的导数 教案 教案
2019-2020学年人教A版选修2-2      复合函数的导数   教案   教案第3页

例3、求下列函数的导数:

(1); (2);

(3)

对于(1)

①能否用学过四则运算解决问题?

②新方法:将函数看作是函数和函数复合函数,并分别求对应变量的导数如下:,

两个导数相乘,得

  从而有

  对于一般的复合函数,结论也成立,以后我们求y′x时,就可以转化为求yu′和u′x的乘积,关键是找中间变量,随着中间变量的不同,难易程度不同。

(学生自主完成(2)、(3))。

例4、求y=sin2(2x+)的导数

分析: 设u=sin(2x+)时,求,但此时u仍是复合函数,所以可再设v=2x+.

解略. 1、求的导数.

  解:

  

  

  【点评】

  求复合函数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,由外层向内层逐层求导,直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.

2、求的导数.

  解:

  

  【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理.

3、求y =sin4x +cos 4x的导数.

  【解法一】y =sin 4x +cos 4x=(sin2x +cos2x)2-2sin2cos2x=1-sin22 x

  =1-(1-cos 4 x)=+cos 4 x.y′=-sin 4 x.

  【解法二】y′=(sin 4 x)′+(cos 4 x)′=4 sin 3 x(sin x)′+4 cos 3x (cos x)′

  =4 sin 3 x cos x +4 cos 3 x (-sin x)=4 sin x cos x (sin 2 x -cos 2 x)

  =-2 sin 2 x cos 2 x=-sin 4 x

  【点评】

  解法一是先化简变形,简化求导数运算,要注意变形准确.解法二是利用复合函数求导数,应注意不漏步.

4、曲线y =x(x +1)(2-x)有两条平行于直线y =x的切线,求此二切线之间的距离.

  【解】y =-x 3 +x 2 +2 x y′=-3 x 2+2 x +2

  令y′=1即3 x2-2 x -1=0,解得 x =-或x =1.

  于是切点为P(1,2),Q(-,-),

  过点P的切线方程为,y -2=x -1即 x -y +1=0.

  显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离,故所求距离为=.