2018-2019学年北师大版必修五 1.2数列的函数特性(第一课时) 教案
2018-2019学年北师大版必修五    1.2数列的函数特性(第一课时)    教案第3页

 回顾

 复习

合作

动手

自主

学习

完成

学案

  导入新课     

  思路1.(复习导入)上节课我们研究了数列的通项公式,让学生写出数列0,2,4,6,8,...的一个通项公式.学生写出通项公式an=2n-2后,教师进一步启发,an=2n-2与函数f(x)=2x-2有什么联系?你能用图像直观表示这个数列吗?由此展开本节新课.

  思路2.(情境导入)让学生每人根据自己的出生年月,写出2000 2007年各人的年龄(按周岁计算),这样学生每人得到一个数列.然后教师进一步提问,你能用图像在坐标系中直观地表示你的年龄组成的数列吗?在学生兴趣盎然的探究中引入新课.

  

  课本本节练习1,2.

  

  1.由学生自己总结数列与函数的关系,总结数列的图像表示及数列的增减性概念.

  2.教师进一步强调,数列也是函数,是一类特殊的函数,其图像是一些孤立的点.通过例题及课后习题,深刻理解函数、几何这一主线的作用,为后续内容的学习打下坚实的基础.

  

   + + ]

  ①怎样认识数列是一种特殊函数?它的定义域是什么?值域是什么?你能说出它与函数的区别与联系吗?

  ②怎样用图像表示数列?其图像特点是什么?

  ③根据数列的图像表示,联想函数的性质,你能说明数列的增减性吗?

  活动:教师引导学生思考数列中的各项与序号的对应关系,类比函数概念,数列可以看成是一种特殊函数,其定义域是正整数集N+(或它的有限子集),值域是当自变量从小到大依次取值时的对应值.对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,...)有意义,这些函数值也可以组成一个数列f(1),f(2),f(3),...,f(n),....这样,上节课学习的通项公式可以看成数列的函数解析式.类比函数性质的研究,我们可以利用一个数列的通项公式来探究数列的增减性,探究数列的图像表示.数列的图像是一系列孤立的点,其图像之所以是一些孤立的点,原因在于数列自变量的取值是一些孤立的点. 学_ _ ]

  

  例1 判断下列无穷数列的增减性.

  (1)2,1,0,-1,...,3-n,...;(2),,,...,,....

  活动:教师可先让学生自己探究,思考判断一个数列是递增数列或递减数列的方法是比较an+1与an的大小.因此对于本例中的两个数列需先写出它们的通项公式,然后作差比较判断an+1与an的大小关系.

  解:(1)设an=3-n,那么

  an+1=3-(n+1)=2-n,

  an+1-an=(2-n)-(3-n)=-1,

  所以an+1<an,因此数列{an}是递减数列.

  (2)设bn=,那么

  bn+1==,

  bn+1-bn=-=>0,

  所以bn+1>bn,因此这个数列是递增数列.

  点评:学生在理解并掌握判断数列增减性方法的同时,体会数列作为一种特殊函数,可用函数的思想方法去研究.

  对以上问题的探究活动,教师要放手多让学生思考、交流,以拓展学生的思维空间.如在探究数列是一种特殊函数的过程中,可点拨学生思考数列中的数和它的序号是什么关系,哪个是变动的量,哪个是随之变动的量.通过学生联想函数间的变量依赖关系,从而深刻认识到数列是一种特殊的函数.在探究递增数列、递减数列的过程中,要注意强调概念中的"从第2项起"这一关键词,避免学生陈述得不严格或不完整,培养学生思考问题的全面性及严肃认真的学习态度.

  讨论结果:① ③略.

  函数与数列的比较(由学生完成此表):

函数 数列(特殊函数) 定义域 R或R的子集 N+或它的有限子集 解析式 y=f(x) an=f(n) 图像 点的集合 一些孤立的点的集合 学 ]   实例分析,新中国成立后,我国1952 1994年间部分年份进出口贸易总额(亿美元)数据排成一数列:19.4,31.0,42.5,45.9,147.5,381.4,696.0,1 154.4,2 367.3.

  此数列也可以用图直观表示(如图1)

  

  中国进出口贸易总额的变化

  图1

  由图1可以看出我国1952 1994年部分年份,各时期进出口贸易总额的增长变化情况.

  我们可以把一个数列用图像来表示:

  图2是上节数列①:3,4,5,6,7,8,9的图像;图3是上节数列⑤:1,,,,...的图像;图4是上节数列⑥:2 100,2 100,...,2 100的图像.

  

  图2    图3    图4

  从图中可以看出,数列①的函数图像上升,称这样的数列为递增数列;数列⑤的函数图像下降,称这样的数列为递减数列;数列⑥称为常数列.

  由此我们得到:一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项,即an+1>an,那么这个数列叫作递增数列. 学 ]

  如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项,即an+1<an,那么这个数列叫作递减数列.

  如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫作常数列.

   课堂检测内容   课本本节练习1,2. 课后作业布置   课本习题1-1 A组5,6, 预习内容布置 2.1等差数列