2019-2020学年人教A版选修2-2 反证法 学案
2019-2020学年人教A版选修2-2    反证法   学案第3页

例2 用反证法证明:过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.

证明 假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行,即b∩b′=A,b′∥a,又b∥a,由平行公理知b′∥b.

这与b∩b′=A矛盾,故假设错误,

所以过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.

反思与感悟 证明"唯一性"问题的方法:"唯一性"包含"有一个"和"除了这个没有另外一个"两层意思.证明后一层意思时,采用直接证法往往会相当困难,因此一般情况下都采用间接证法,即用反证法(假设"有另外一个",推出矛盾)或同一法(假设"有另外一个",推出它就是"已知那一个")证明,而用反证法比用同一法更方便.

跟踪训练2 求证:过一点只有一条直线与已知平面垂直.

已知:平面α和一点P.

求证:过点P与α垂直的直线只有一条.

证明 如图所示,不论点P在α内还是在α外,设PA⊥α,垂足为A(或P).

假设过点P不止有一条直线与α垂直,如还有另一条直线PB⊥α,设PA,PB确定的平面为β,且α∩β=a,于是在平面β内过点P有两条直线PA,PB垂直于a,这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾,∴假设不成立,原命题成立.

题型三 用反证法证明结论中含有"至多""至少""都"等词语的问题

例3 用反证法证明:如果函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,那么方程f(x)=0在区间[a,b]上至多有一个实数根.(不考虑重根)

证明 假设方程f(x)=0在区间[a,b]上至少有两个实数根,设α,β为它的两个实数根,则f(α)=f(β)=0.

因为α≠β,不妨设α<β,又因为函数f(x)在[a,b]上是增函数,所以f(α)<f(β),这与f(α)=f(β)=0矛盾,

所以方程f(x)=0在区间[a,b]上至多有一个实数根.