距离（选学）

基础达标(水平一)

1.点M在 轴上,它与经过坐标原点且方向向量为s=(1,-1,1)的直线l的距离为√6,则点M的坐标是(　　).

　　A.(0,0,±2) B.(0,0,±3)

　　C.(0,0,±√3) D.(0,0,±1)

　　【解析】设点M(0,0, ),直线l的一个单位方向向量s0=(√3/3 ",-" √3/3 "," √3/3),故点M到直线的l距离d=√("|" (OM) ⃗"|" ^2 "-|" (OM) ⃗"·" s_0 "|" ^2 )=√(z^2 "-" 1/3 z^2 )=√6,解得 =±3.

　　【答案】B

2.两平行平面α和β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两个平面的一个法向量n=(-1,0,1),则这两个平面间的距离是(　　).

　　A.3/2 B.√2/2 C.√3 D.3√2

　　【解析】两个平面的一个单位法向量为n0=("-" √2/2 "," 0"," √2/2),故两个平面间的距离d=|(OA) ⃗·n0|=√2/2.

　　【答案】B

3.已知平面α内有一点A(1,-1,2),与平面α垂直的一个向量为n=(-3,0,4),则点P(3,5,0)到平面α的距离为(　　).

　　A.14/5 B.2 C.3 D.12/5

　　【解析】因为(PA) ⃗=(-2,-6,2),所以(PA) ⃗·n=(-2,-6,2)·(-3,0,4)=14.

　　又|n|=√("(-" 3")" ^2+4^2 )=5,所以点P到平面α的距离为("|" (PA) ⃗"·" n"|" )/("|" n"|" )=14/5.

　　【答案】A

4.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是A1C1的中点,则点O到平面ABC1D1的距离为(　　).

　　A.√3/2 B.√2/4 C.1/2 D.√3/3

　　【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则点D(0,0,0),C1(0,1,1),O(1/2 "," 1/2 "," 1),A1(1,0,1),可得(C_1 O) ⃗=(1/2 ",-" 1/2 "," 0),平面ABC1D1的一个法向量为(DA_1 ) ⃗=(1,0,1),

　　所以点O到平面ABC1D1的距离d=("|" (DA_1 ) ⃗"·" (C_1 O) ⃗"|" )/("|" (DA_1 ) ⃗"|" )=(1/2)/√2=√2/4.

　　【答案】B

5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=9,BC=6√3,N为BC的中点,则直线D1C1到平面A1B1N的距离是　　　　.

　　【解析】如图,建立空间直角坐标系,设CD=a,则点D1(0,0,9),A1(6√3,0,9),B1(6√3,a,9),N(3√3,a,0),

所以(D_1 A_1 ) ⃗=(6√3,0,0), (A_1 B_1 ) ⃗=(0,a,0),(B_1 N) ⃗=(-3√3,0,-9).