§7　向量应用举例

1.在四边形ABCD中,(AB) ⃗·(BC) ⃗=0,(BC) ⃗=(AD) ⃗,则四边形ABCD是(　　)

A.直角梯形 B.菱形

C.矩形 D.正方形

解析由(AB) ⃗·(BC) ⃗=0知(AB) ⃗⊥(BC) ⃗.由(BC) ⃗=(AD) ⃗知BC=AD,且BC∥AD,故四边形ABCD是矩形.

答案C

2.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,∠B=45°,AB=2CD=2,M为腰BC的中点,则(MA) ⃗·(MD) ⃗=(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析以A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立直角坐标系(图略),则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),∴中点M的坐标为(3/2 "," 1/2),

　　∴(MA) ⃗=("-" 3/2 ",-" 1/2),(MD) ⃗=("-" 3/2 "," 1/2).

　　∴(MA) ⃗·(MD) ⃗=9/4-1/4=2.

答案B

3.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为20 N,合力与F1的夹角为30°,那么F1的大小为(　　)

A.10√3 N B.10 N

C.20 N D.10√2 N

答案A

4.设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a与b不共线,a⊥c,|a|=|c|,则|b·c|的值一定等于(　　)

A.以a,b为邻边的平行四边形的面积

B.以b,c为邻边的平行四边形的面积

C.以a,b为两边的三角形的面积

D.以b,c为两边的三角形的面积

解析设a与b的夹角为θ,则|b·c|=|b||c||cos(90°-θ)|=|b||a||sin θ|,则|b·c|的值一定等于以a,b为邻边的平行四边形的面积.

答案A

5.已知△ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为(0,1),(√2,0),(0,-2),O为坐标原点,动点P满足|(CP) ⃗|=1,则|(OA) ⃗+(OB) ⃗+(OP) ⃗|的最小值是(　　)

A.4-2√3 B.√3-1 C.√3+1 D.√3

解析设P(x,y),由|(CP) ⃗|=1可知x2+(y+2)2=1,所以点P的轨迹是以C(0,-2)为圆心,1为半径的圆,

　　又|(OA) ⃗+(OB) ⃗+(OP) ⃗|=√("(" x+√2 ")" ^2+"(" 1+y")" ^2 )的最小值表示点P与点(-√2,-1)之间的距离的最小值,由点和圆的位置关系可知,|(OA) ⃗+(OB) ⃗+(OP) ⃗|的最小值为√("(" 0+√2 ")" ^2+"(-" 2+1")" ^2 )-1=√3-1.

答案B

6.点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为　　　　　.

解析设P点坐标为(x,y),

　　则有{■(x="-" 10+4×5=10"," @y=10+"(-" 3")" ×5="-" 5"," )┤∴P(10,-5).

答案(10,-5)

7.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P(x",-" 1/2)在线段AB的中垂线上,则x=　　　　　.

解析设AB的中点为M,则M(1"," 1/2),(MP) ⃗=(x-1,-1),由题意可知(AB) ⃗=(-4,-3),(MP) ⃗⊥(AB) ⃗,则(MP) ⃗·(AB) ⃗=0,所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,解得x=7/4.