2019-2020学年人教A版选修2-2 数学归纳法的应用 课时作业

知识点一 用数学归纳法证明整除问题

1.用数学归纳法证明"当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除"，下列关于步骤(2)的说法正确的个数是(　　)

①假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立；

②假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明当n＝k＋2时命题也成立；

③假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，证明当n＝2k时命题也成立；

④假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，证明当n＝2k＋1时命题也成立．

A．1 B．2 C．3 D．4

答案　B

解析　因为n为正奇数，所以步骤(2)应为：假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明当n＝k＋2时命题也成立；也可为：假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，证明当n＝2k＋1时命题也成立．故②④正确，选B.

2．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是(　　)

A．6＋6·7k B．2＋7k－1

C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)

答案　D

解析　(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．

(2)假设当k＝n(n∈N*)时，3(2＋7n)能被9整除．那么当k＝n＋1时，3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.

这就是说，当k＝n＋1时，3(2＋7n＋1)也能被9整除．

根据(1)和(2)，可知对任何k∈N*,3(2＋7k)均能被9整除．

3．用数学归纳法证明"n∈N*,34n＋2＋52n＋1一定能被14整除"时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________．

答案　81×(34k＋2＋52k＋1)－56×52k＋1

解析　上一步是假设n＝k时，34k＋2＋52k＋1能被14整除，所以当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×(34k＋2＋52k＋1)－56×52k＋1也能被14整除.

知识点二 归纳-猜想-证明

4.设f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N*)，若f(n)能被m(m∈N*)整除，则m的最大值为(　　)

A．2 B．4 C．8 D．16

答案　C

解析　f(1)＝8，f(2)＝32＝8×4，f(3)＝144＝8×18.

猜想m的最大值为8.

证明：①当n＝1时，由f(1)＝8知命题成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即f(k)＝5k＋2×3k－1＋1能被8整除．

那么当n＝k＋1时，f(k＋1)＝5k＋1＋2×3(k＋1)－1＋1＝5×5k＋6×3k－1＋1＝(5k＋2×3k－1＋1)＋4(5k＋3k－1)＝f(k)＋4(5k＋3k－1)．

这里，5k,3k－1都是奇数，二者的和为偶数，从而4(5k＋3k－1)能被8整除，又f(k)能被8整除，故f(k＋1)能被8整除．