即当n＝k＋1时命题也成立．

根据①和②，可知命题对任何n∈N*都成立．

5．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋...＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，观察上述结果，可推测出一般结论(　　)

A．f(2n)＞ B．f(n2)≥

C．f(2n)≥ D．以上都不对

答案　C

解析　f(2)＝，f(4)＝f(22)＞，f(8)＝f(23)＞，f(16)＝f(24)＞，f(32)＝f(25)＞，所以f(2n)≥.故选C.

6．设函数y＝f(x)，对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.

(1)求f(0)的值；

(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；

(4)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式并用数学归纳法证明．

解　(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，得f(0)＝0.

(2)由f(1)＝1，得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4；

f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9；

f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16.

(3)由(2)可猜想f(n)＝n2(n∈N*)．

用数学归纳法证明如下：

①当n＝1时，f(1)＝1＝12显然成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即f(k)＝k2，

则当n＝k＋1时，

f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，

故当n＝k＋1时，猜想也成立．

由①②可得，对一切n∈N*都有f(n)＝n2成立．

1．用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n∈N*.

解　(1)当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，42k＋1＋3k＋2能被13整除，则当n＝k＋1时，42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)．

∴42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除，

∴当n＝k＋1时命题也成立．

由(1)(2)知，当n∈N*时，42n＋1＋3n＋2能被13整除．