1.3.3最大值与最小值

一、单选题

1．若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为(　　)

A．2πr^2 B．πr^2

C．4πr^2 D．1/2 πr^2

【答案】A

【解析】

【分析】

如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，求出S侧＝2πrcosθ·2rsin θ＝4πr2sinθcosθ，再利用导数求函数的最值.

【详解】

如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，

则R＝rcosθ，l＝2rsinθ.

∴S侧＝2πrcosθ·2rsin θ＝4πr2sinθcosθ.

S'＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝4πr2cos 2θ＝0，

∴θ＝π/4.当θ＝π/4，即R＝√2/2 r时，S侧最大且S侧max＝2πr2.

【点睛】

本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，解题关键是设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，求出R＝rcosθ，l＝2rsinθ.

2．若存在两个正实数x,y，使得等式x+a(y-2ex)lny=a(y-2ex)lnx成立，其中e为自然对数的底数，则正实数a的最小值为(　　)

A．1 B．3/2e

C．2 D．1/e

【答案】D

【解析】

【分析】

由x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0得x+a（y﹣2ex）lny/x=0，即1+a（y/x﹣2e）lny/x=0，设t=y/x，则

t＞0，则条件等价为1+a（t﹣2e）lnt=0，即（t﹣2e）lnt=﹣1/a有解，设g（t）=（t﹣2e）lnt，

利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

【详解】

由x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0得x+a（y﹣2ex）lny/x=0，

即1+a（y/x﹣2e）lny/x=0，

即设t=y/x，则t＞0，