[学业水平训练]

1．下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°)；

②直线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°]；

③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；

④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．

其中正确的是________(填序号)．

解析：②应为[0°，90°]；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面．

答案：①④

2．垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是________．

解析：梯形的两腰所在的直线是相交的直线，故直线垂直于梯形所在平面内的两条相交直线，所以直线与平面垂直．

答案：垂直

3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，它的六个面中与棱AA1垂直的有________个．

解析：面A1B1C1D1与面ABCD都与棱AA1垂直．

答案：2

4．如果不在平面α内的一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系为________．

解析：设平面α的垂线为a，过a上一点作l′∥l，设l′与a所确定的平面交α于b，则a⊥b，而a⊥l′，

∴l′∥b，∴l∥b，即可得l∥α.

答案：平行

5.如图，边长为2的正方形ABCD在α上的射影为EFCD，且AB到α的距离为，则AD与α所成的角为________．

解：在Rt△AED中，AE＝，AD＝2，

∴∠ADE＝30°.

答案：30°

6．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的有________．(填序号)

解析：在①中，设面BCD上的另一个顶点为A1，连结BA1，易得CD⊥BA1，CD⊥AA1，即CD⊥平面ABA1，∴CD⊥AB.而在②中AB与CD成60°角，在③中AB与CD成45°角．在④中AB与CD所成角的正弦值为.

答案：①

7．若点A∉平面α，点B∈α，AB＝6，AB与α所成的角为45°，求A到α的距离．

解：如图，过A作AH⊥平面α于H，连结BH，则∠ABH为AB与α所成角，即∠ABH＝45°.

在Rt△ABH中，AH＝ABsin 45°＝3.

∴A到α的距离为3.

8．已知在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.

证明：如图，过A作AO⊥平面BCD于O，则AO⊥CD.连结OB，OC，

∵AB⊥CD，AO∩AB＝A，