[学业水平训练]

1.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，如图所示，图中互相垂直的平面有________对．

解析：∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，

∴DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，

AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，

∴平面AC⊥平面PAD，平面AC⊥平面PAB，

平面PBC⊥平面PAB，平面PDC⊥平面PAD，

平面PAB⊥平面PAD，共5对．

答案：5

2.如图，四面体P-ABC中，PA＝PB＝，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.

解析：取AB的中点E，连结PE，PA＝PB，∴PE⊥AB.

又平面PAB⊥平面ABC，

∴PE⊥平面ABC，连结CE，所以PE⊥CE.

∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝2，PE＝＝，

CE＝＝，

PC＝＝7.

答案：7

3．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P-BC-A的大小为________．

解析：取BC的中点O，连结OA，OP(图略)，则∠POA为二面角P-BC-A的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.

答案：90°

4.如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是________________．

解析：如图：因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β，又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.

答案：面面垂直的判定定理

5.平面四边形ABCD，其中AB＝AD＝1，BC＝CD＝，AB⊥AD，沿BD将△ABD折起，使得AC＝1，则二面角A-BD-C的平面角的正弦值为________．

解析：取BD中点E，连结AE，CE.

∵AB＝AD，BC＝CD，

∴AE⊥BD，CE⊥BD，

∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角．