=1-("(" k+1")" ^2 "-" k)/(k"(" k+1")" ^2 )=1-(k^2+k+1)/(k"(" k+1")" ^2 )<1-(k"(" k+1")" )/(k"(" k+1")" ^2 )

　　=1-1/(k+1).

　　所以当n=k+1时,不等式也成立.

　　综上所述,对任意n≥2的正整数,不等式都成立.

9用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+...+n(3n+1)=n(n+1)2(其中n∈N ).

证明(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立.

　　(2)假设当n=k(k∈N )时等式成立,

　　即1×4+2×7+3×10+...+k(3k+1)=k(k+1)2,

　　则当n=k+1时,

　　1×4+2×7+3×10+...+k(3k+1)+(k+1)·[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2,

　　即当n=k+1时等式也成立.

　　根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N 都成立.

能力提升

1某同学解答"用数学归纳法证明√(n"(" n+1")" )

证明:①当n=1时,显然命题是正确的;②假设当n=k(k≥1,k∈N )时,有√(k"(" k+1")" )

A.从n=k到n=k+1的推理过程中没有使用归纳假设

B.假设的写法不正确

C.从n=k到n=k+1的推理不严密

D.当n=1时,验证过程不具体

解析由分析证明过程中的②可知,从n=k到n=k+1的推理过程中没有使用归纳假设,故该证法不能叫数学归纳法,选A.

答案A

2用数学归纳法证明"凸n(n≥3,n∈N )边形的内角和公式"时,由n=k到n=k+1增加的是(　　)

A.π/2 B.π C.3π/2 D.2π

解析如图,由n=k到n=k+1时,凸n边形的内角和增加的是∠1+∠2+∠3=π,故选B.