7.已知双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标是(3,0),且焦距与虚轴长之比为5∶4,则双曲线的标准方程为　　　　　　　　　　　　　　　.

解析:由题意得双曲线的焦点在x轴上,且a=3,焦距与虚轴长之比为5∶4,即c∶b=5∶4,解得c=5,b=4,

　　故双曲线的标准方程为 x^2/9-y^2/16=1.

答案:x^2/9-y^2/16=1

8.已知双曲线 x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线上一点,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=4ab,则双曲线的离心率是　　　　　.

解析:因为PF1⊥PF2,

　　所以有{■("|" PF_1 "|" ^2+"|" PF_2 "|" ^2=4c^2 "," @"|" PF_1 "|·|" PF_2 "|" =4ab"," @"||" PF_1 "|-|" PF_2 "||" =2a"," )┤

　　即4c2-4a2=8ab,

　　所以b=2a,c2=5a2,即e=√5.

答案:√5

9.求满足下列条件的双曲线方程:

(1)以2x±3y=0为渐近线,且经过点(1,2);

(2)离心率为 5/4,虚半轴长为2;

(3)与椭圆x2+5y2=5共焦点,且一条渐近线方程为y-√3 x=0.

分析(1)可设所求的双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0);

　　(2)e=c/a=5/4,c=5/4 a,b=2,结合c2=a2+b2可确定a2,b2;

　　(3)先求出椭圆焦点为(±2,0),则c=2.设所求双曲线方程为3x2-y2=λ(λ>0),化为标准方程形式并代入c=2可求得.

解:(1)设所求双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),将点(1,2)代入方程,可得λ=-32,故所求双曲线方程为4x2-9y2=-32,即 (9y^2)/32-x^2/8=1.

　　(2)由题意,得b=2,e=c/a=5/4.

　　令c=5k,a=4k,其中k∈R,且k≠0,

由b2=c2-a2=9k2=4,得k2=4/9.